Лекция №20. Переменный электрический ток
1. Переменный электрический ток
2.
3.
4.
5.
6.
7. Мгновенная мощность
8.
Переменный электрический ток
Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи с резистором, катушкой индуктивности и конденсатором можно рассматривать как переменный электрический ток . Если подводимые к контуру внешняя ЭДС или напряжение периодически изменяются по гармоническому закону, то переменный ток называют синусоидальным (рис. 20.1):
где – мгновенное значение силы тока, то есть значение тока для каждого момента времени; – амплитудное значение силы тока.
При частоте https://pandia.ru/text/78/089/images/image007_105.gif" width="78" height="21 src=">.
Ввиду того, что в течение периода сила переменного тока изменяется, о величине такого тока судят не по мгновенным значениям, а по действующему или эффективному значению https://pandia.ru/text/78/089/images/image010_85.gif" align="left" width="96" height="84">
Действующее значение переменного тока
Действующим (эффективным) значением переменного тока называют такую величину, которая равна силе постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и данный переменный ток за одно и то же время. Действующее значение переменного синусоидального тока связано с его амплитудным значением соотношением
(20.1)
Для мгновенных значений синусоидальных токов выполняются закон Ома и правила Кирхгофа.
Рассмотрим цепи, содержащие резистор, катушку индуктивности, конденсатор и все три элемента, соединенные последовательно, на зажимах которых приложено переменное напряжение
где – амплитудное значение напряжения.
Электрическая цепь с резистором
Сила тока, протекающего через резистор (рис. 20.2), определяется законом Ома
(20.2)
где – амплитуда силы тока. Очевидно, что при чисто активном (R ) характере цепи сдвиг фаз колебаний тока и напряжения равен нулю (рис.
Электрическая цепь с катушкой индуктивности
В катушке без потерь () будет протекать ток, если напряжение на ее выводах компенсирует ЭДС самоиндукции (рис. 20.4), то есть
(20.3)
откуда ток
https://pandia.ru/text/78/089/images/image023_41.gif" width="74" height="49"> (20.5)
где – индуктивное сопротивление , зависящее от частоты..gif" width="52" height="26">.
Таким образом, в цепи с катушкой индуктивности колебания силы тока отстают по фазе на https://pandia.ru/text/78/089/images/image028_37.gif" align="left" width="518" height="250">
Электрическая цепь с конденсатором
Если пренебречь активным сопротивлением соединительных проводов и обкладок конденсатора (рис. 20.6), то напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на зажимах цепи, то есть
откуда заряд конденсатора
Сила тока в цепи конденсатора
https://pandia.ru/text/78/089/images/image034_30.gif" width="136" height="53">, - емкостное сопротивление цепи..gif" width="21" height="26 src=">. Поэтому в цепи постоянного тока () и конденсатор не проводит электрический ток.
 |
Таким образом, в цепи с конденсатором колебания силы тока опережают по фазе на https://pandia.ru/text/78/089/images/image041_24.gif" align="left" width="96" height="84">
Закон Ома для цепи переменного тока
Рассмотрим теперь электрическую цепь из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 20.8).
По второму правилу Кирхгофа для мгновенных значений напряжение на зажимах цепи равно сумме напряжений на отдельных элементах
Построим векторную диаграмму цепи с учетом полученных ранее фазовых соотношений: а) напряжение на резисторе совпадает по фазе с током; б) напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на ; в) напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на https://pandia.ru/text/78/089/images/image045_24.gif" width="288" height="34"> (20.9)
где – реактивная составляющая напряжения.
Учитывая, что https://pandia.ru/text/78/089/images/image048_23.gif" width="69" height="26 src=">.gif" width="239" height="53">
где Z – полное сопротивление цепи. Выражение
(20.10)
называется законом Ома для цепи переменного тока .
Разность 
называют реактивным сопротивлением
. Из векторной диаграммы следует, что угол сдвига фаз между током и напряжением для рассматриваемой схемы
(20.11)
Если https://pandia.ru/text/78/089/images/image055_23.gif" width="43" height="24">; если , цепь имеет емкостный характер, ; если , то реактивное сопротивление цепи https://pandia.ru/text/78/089/images/image060_20.gif" width="43" height="24 src="> и цепь имеет активный характер даже при наличии в ней L и C .
Мгновенная мощность
Мгновенная мощность , развиваемая в цепи переменного тока, равна произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:
https://pandia.ru/text/78/089/images/image063_19.gif" width="121" height="62"> (20.13)
Из-за наличия сдвига фаз знаки у тока и напряжения в данный момент времени могут быть разные. Поэтому мгновенная мощность может быть отрицательной в некоторые доли периода переменного тока, что означает возвращение энергии из цепи источнику тока.
На рис.20.10 приведены графики изменения мгновенной мощности при различных углах сдвига фаз между колебаниями напряжения и тока.
При https://pandia.ru/text/78/089/images/image067_16.gif" width="87" height="21"> в отдельные промежутки времени мощность отрицательна. Это объясняется тем, что при наличии в цепи катушки индуктивности возрастание тока приводит к созданию в ней магнитного поля, которое обладает запасом энергии. При уменьшении силы тока магнитное поле исчезает и запасенная в нем энергия возвращается к источнику тока (генератору). Аналогичный процесс происходит при наличии в цепи конденсатора: в течение той четверти периода, когда происходит зарядка конденсатора, энергия в нем запасается, а когда конденсатор разряжается, он отдает в цепь запасенную энергию.
При https://pandia.ru/text/78/089/images/image069_17.gif" width="224" height="49">, (20.14)
где – косинус угла сдвига фаз, который называется коэффициентом мощности .
Формула (20.14) показывает, что развиваемая в цепи переменного тока мощность зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между напряжением и током.
Коэффициент мощности https://pandia.ru/text/78/089/images/image072_16.gif" width="40" height="21"> и может быть много меньше единицы. В этих случаях для передачи требуемой активной мощности Р (при заданном напряжении) необходимо увеличивать силу тока, что приводит к выделению в цепи большого количества теплоты. Поэтому приходится либо увеличивать сечение проводов (R ~ 1/ S ), либо распределять реактивные нагрузки так, чтобы был по возможности ближе к единице.
Резонанс в электрических цепях. Резонанс напряжений
Резонансом в электрической цепи называется режим участка, содержащего индуктивный и емкостный элементы, при котором угол Измерительная техника" href="/text/category/izmeritelmznaya_tehnika/" rel="bookmark">измерительной технике и других областях.
Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений (при последовательном соединении элементов), резонанс токов (при параллельном соединении элементов), резонанс в магнитно-связанных цепях и др.
Резонанс напряжений . Из выражения (1) следует, что при последовательном соединении ток в цепи приобретает максимальное значение при https://pandia.ru/text/78/089/images/image079_14.gif" width="78 height=48" height="48"> Этому условию удовлетворяет частота
Явление резонанса напряжений используется в радиотехнике и электронике для усиления колебаний напряжения какой-либо определенной частоты. В электроэнергетике явление резонанса напряжений необходимо учитывать при выборе изоляции высоковольтного оборудования, так как иначе может произойти ее пробой.
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью С, катушки с индуктивностью L, электрического сопротивления R и ключа К, рис. 56 .
Если при разомкнутом ключе К конденсатор зарядить до разности потенциалов пометка">I, изменяющийся с течением времени I = I(t).
Мгновенные значения силы I переменного тока должны удовлетворять всем законам, установленным выше для цепей постоянного тока. Такие переменные токи называют квазистационарными.
Найдем вид зависимости силы квазистационарного тока от времени, считая, что электрические сопротивления катушки, соединительных проводов и ключа равны нулю.
По закону Ома для участка цепи 1LR 2 имеем
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/117-1.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - соответственно мгновенные значения силы тока в цепи, разности потенциалов, алгебраической суммы ЭДС, действующих на участке.
На участке цепи 1LR 2 приложена только ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока..gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Если заряд на обкладках конденсатора в начальный момент времени t =0 был q, то сила убывающего тока в цепи I:
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/117-5.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Разность потенциалов между обкладками конденсатора
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/117-7.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
По своей форме это дифференциальное уравнение аналогично дифференциальному уравнению свободных затухающих колебаний математического или физического маятников
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/118.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" - собственная частота незатухающих колебаний, пометка">m является индуктивность L, аналогом коэффициента сопротивления r - сопротивление цепи R, аналогом коэффициента упругости пружины k (или коэффициента квазиупругой силы) - величина, обратная емкости С.
Решение уравнения (13.4) имеет следующий вид:
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/118-3.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Таким образом, при замыкании заряженного конденсатора на цепь, состоящую из последовательно соединенных индуктивности и электрического сопротивления, заряд на обкладках конденсатора совершает затухающие колебания. Поэтому изображенная на рис. 56 цепь получила название колебательного контура.
Период затухающих колебаний в колебательном контуре равен
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/118-5.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" обращается в бесконечность пометка">R постепенно уменьшать, то затухание колебаний в нем также уменьшится. В пределе при R = 0 свободные электромагнитные колебания становятся незатухающими. Период свободных незатухающих колебаний равен
опред-е">формулой Томсона.
Рассмотрим переходные процессы в замкнутой электрической цепи, состоящей из источника тока, ключа К, катушки L с большим числом витков и гальванометра, при замыкании и размыкании ключа (рис. 57 ).
Если разомкнуть ключ К, то сила тока i в витках, а следовательно, и магнитный поток Ф, который пронизывал витки катушки, будут убывать..gif" border="0" align="absmiddle" alt=", называют экстратоками самоиндукции. В данном случае в контуре возникает экстраток размыкания I . Согласно правилу Ленца, экстратоки всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи i . Гальванометр в этом случае дает отброс стрелки в противоположном к первоначальному направлению.
При замыкании ключа К в цепи происходит нарастание магнитного потока. В витках катушки возникает экстраток замыкания I, который имеет такое направление, чтобы препятствовать нарастанию тока i .
Найдем закон, по которому изменяется ток в цепи при размыкании ключа К. Пусть в цепи течет постоянный ток пометка">t = 0 разомкнем цепь, ток через катушку индуктивности будет уменьшаться, что приведет к возникновению формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/120-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" Приравнивая ЭДС самоиндукции из разных уравнений, получим
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/120-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Интегрируя это выражение по I и t, получим
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/120-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Таким образом, при отключении источника тока, сила тока в контуре убывает по экспоненциальному закону (рис. 58 ). Время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз, называют временем релаксации пометка">L и меньше электрическое сопротивление R, тем больше время релаксации пометка">I = 0 до установившегося значения формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/121-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".
Рассмотрим цепь, содержащую индуктивность L, сопротивление R, источник ЭДС пометка">К (рис. 59 ).
Пусть в исходном состоянии ключ находился в положении 1. При переводе ключа в положение 2 в цепи действует только ЭДС самоиндукции, которая поддерживает ток. Элементарная работа при этом
пометка">I до 0, найдем полную работу за время протекания тока:
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Wm.gif" border="0" align="absmiddle" alt=":
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/122-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" Умножив это равенство на Idt, найдем работу источника ЭДС:
пометка">dI пометка">dI =0), энергия источника расходуется только на джоулеву теплоту, но в катушке поддерживается запас энергии магнитного поля. При переводе ключа в положение 2 она идет на работу тока и постепенно убывает.
Для соленоида на основании (12.6) и (13.6) энергия магнитного поля
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/122-5.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
где различные выражения получены с учетом, что пометка">Электрический ток, возникающий под действием ЭДС, которая изменяется по гармоническому закону, называется переменным током.
Переменный ток - это вынужденные колебания тока в электрических цепях.
Электрическое сопротивление любого реального колебательного контура отлично от нуля. Поэтому свободные электромагнитные колебания постепенно затухают. Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо извне подводить энергию, компенсирующую потери. В этом случае в контуре будут осуществляться вынужденные электромагнитные колебания (рис. 60 ).
Роль вынуждающей силы в колебательном контуре выполняет источник тока, обладающий периодически изменяющейся ЭДС.
Пусть ЭДС меняется по гармоническому закону
пометка">L возникает ЭДС самоиндукции формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/123-2.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Тогда ЭДС источника тока можно представить как сумму падений напряжений:
формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/123-4.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Напряжение на емкостном сопротивлении формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/123-6.gif" border="0" align="absmiddle" alt="
Вместо действия трех полей на одно активное сопротивление мы рассматриваем действие одного внешнего поля на три сопротивления: активное R и два реактивных - емкостное формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook785/files/Xl.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".
Переменный ток, текущий через резистор R
опред-е">резонансом напряжений, а частота опред-е">резонансной частотой.
Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, так как иначе может наблюдаться их пробой.
Резонанс электромагнитных колебаний лежит в основе всей радиотехники. Однако резонансное поглощение электромагнитных колебаний существует и при значительно более высоких частотах, чем радиотехнические. Колебательная система может быть образована, например, кристаллической решеткой поваренной соли. Под действием переменного электрического поля она резонирует на частотах подзаголовок">Контрольные вопросы и задачи
- Нарисуйте схему электрического колебательного контура. Чему равна частота собственных незатухающих колебаний в таком контуре?
- Чему равна частота затухающих электромагнитных колебаний?
- Дайте определение переменному электрическому току.
- Какую роль в колебательном контуре играет источник тока с переменной ЭДС?
- Запишите полное сопротивление в цепи переменного тока.
- Что называется экстратоками замыкания и размыкания?
- По какому закону изменяется сила тока в цепи при размыкании?
- От чего зависит скорость изменения тока в цепи при замыкании или размыкании цепи?
- Покажите, что магнитное поле обладает энергией и найдите выражение для объемной плотности энергии магнитного поля.
- Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R =12 Ом и индуктивностью L =0,5 Гн.
- Что называется переменным электрическим током?
- Нарисуйте электрическую схему, в которой можно получить вынужденные электромагнитные колебания.
Лекция № 6. Установившиеся процессы в линейных цепях синусоидального тока.doc
Переменный ток
Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, переменного тока. Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, таккак их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнит-ные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытека-ющие из него правила Кирхгофа, которые будут использованы применительно к пере-менным токам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке цепи, содер-жащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор, к концам которого приложено переменное напряжение
Где U m - амплитуда напряжения.
1. Переменный ток, текущий через резистор сопротивлением R (L 0, C 0) (рис. 213, а). При выполнении условия квазистационарности ток через резистор опреде-ляется законом Ома:
Где амплитуда силы тока I m = U m / R .
Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряже-ниями воспользуемся методом векторных диаграмм. На рис. 213, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока I m и напряжения U m на резисторе (сдвиг фаз между I m и U m равен нулю).
^
2. Переменный ток, текущий через катушку индуктивностью L
(R
0,
C
0) (рис. 214, а
). Если в цепи приложено переменное напряжение (149.1), то в ней потечет переменный ток, в результате чего возникнет э.д.с. самоиндукции (см. (126.3)) 
.
Тогда закон Ома (см. (100.3)) для рассматриваемого участка цепи имеет вид
(149.2)
Таккак внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то
(149.3)
Есть падение напряжения на катушке. Из уравнения (149.2) следует, что
После интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим
Где I m = U m /( L ). Величина
(149.5)
Называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлени-ем ). Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока ( = 0) катушка индук-тивности не имеет сопротивления. Подстановка значения U m = LI m в выражение (149.2) с учетом (149.3) приводит к следующему значению падения напряжения на катушке индуктивности:
(149.6)
Сравнение выражений (149.4) и (149.6) приводит к выводу, что падение напряжения U L опережает по фазе ток I , текущий через катушку, на /2, что и показано на векторной диаграмме (рис. 214, б).
^ 3. Переменный ток, текущий через конденсатор емкостью С (R 0, L 0) (рис. 215, в). Если переменное напряжение (149.1) приложено к конденсатору, то он все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток. Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренеб-речь, то
Сила тока
(149.7)
Величина
Называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением ). Для постоянного тока ( = 0) R С = , т. е. постоянный ток через конденсатор течь не может. Падение напряжения на конденсаторе
(149.8)
Сравнение выражений (149.7) и (149.8) приводит к выводу, что падение напряжения U С отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на /2. Это показано на векторной диаграмме (рис. 215, б ).
^ 4. Цепь переменного тока, содержащая последовательно включенные резистор, ка-тушку индуктивности и конденсатор . На рис. 216, а представлен участок цепи, содер-жащий резистор сопротивлением R , катушку индуктивностью L и конденсатор ем-костью С, к концам которого приложено переменное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения U R , U L и U C . На рис. 216, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на резисторе (U R ), катушке (U L ) и конденсаторе (U C ). Амплитуда U m приложенного напряжения должна быть равна векторной сумме амп-литуд этих падений напряжений. Как видно из рис. 216, б , угол определяет разность фаз между напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что (см. также формулу (147.16))
(149.9)
Из прямоугольного треугольника получаем 
откуда ам-плитуда силы тока имеет значение
(149.10)
Совпадающее с (147.15).
Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U = U m cos t , то в цепи течет ток
Где и I m определяются соответственно формулами (149.9) и (149.10). Величина
(149.12)
Называется полным сопротивлением цепи, а величина
– реактивным сопротивлением.
Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В данном случае падения напряжений U R и U L в сумме равны приложенному напряжению U . Векторная диаграмма для данного случая представлена на рис. 217, из которого следует, что
Выражения (149.9) и (149.10) совпадают с (149.13), если в них 1/(
C
)=
0,
т.е. С
=. Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает С
=, а не С=
0. Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстоя-ние между обкладками стремится к нулю, а емкость - к бесконечности; см. (94.3)).
^
Резонанс напряжений
Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор (см. рис. 216),
(150.1)
То угол сдвига фаз между током и напряжением (149.9) обращается в нуль ( =0), т. е. изменения тока и напряжения происходят синфазно. Условию (150.1) удовлетворяет частота
(150.2)
В данном случае полное сопротивление цепи Z (149.12) становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивле-нием, принимая максимальные (возможные при данном U m) значения. При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, прило-женному к цепи (U R =U ), а падения напряжений на конденсаторе (U C ) и катушке индуктивности (U L ) одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление называется резонансом напряжений (последовательным резонансом), а частота (150.2) - резонансной частотой. Векторная диаграмма для резонанса напряжений при-ведена на рис. 218, а зависимость амплитуды силы тока от уже была дана на рис. 211.
В случае резонанса напряжений
Подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим
Где Q
-
добротность контура, определяемая выражением (146.14). Так как доброт-ность обычных колебательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение, приложенное к цепи. Поэтому явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты. Например, в случае резонан-са на конденсаторе можно получить напряжение с амплитудой QU
m (Q
в данном случае-добротность контура, которая может быть значительно больше U
m). Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонанс-ной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание определенной частоты, т. е. на радиоприемнике настроиться на нужную длину волны. Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции элект-рических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.
^
Резонанс токов
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно включенные конден-сатор емкостью С
и катушку индуктивностью L
(рис. 219). Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им можно пренебречь. Если приложенное напряжение изменяется по закону U
=
U
m сos
t
(см. (149.1)), то, согласно формуле (149.11),в ветви 1С2
течет ток
Амплитуда которого определяется из выражения (149.10) при условии R = 0 и L =0:
Начальная фаза 1 этого тока по формуле (149.9) определяется равенством
Аналогично, сила тока в ветви 1 L 2
Амплитуда которого определяется из (149.10) при условии R = 0 и С = (условие отсутствия емкости в цепи, см. § 149):
Начальная фаза 2 этого тока (см. (149.9))
Из сравнения выражений (151.1) и (151.2) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 н 1 L 2 равна 1 - 2 = , т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи
Если
=
рез = 
, то I
m 1 =I
m 2 и I
m =0. Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катуш-ку индуктивности, при приближении частоты
приложенного напряжения к резонанс-ной частоте
рез называется резонансом токов (параллельным резонансом)
. В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений (см. § 150).
Амплитуда силы тока ^ I m оказалась равна нулю потому, что активным сопротивле-нием контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R , то разность фаз 1 - 2 будет равна , поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока I m будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение. Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I 1 и I 2 компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе токов силы токов I 1 и I 2 могут значительно превышать силу тока I .
Рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с ча-стотой, близкой к резонансной. Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала сложной формы. Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми токами (см. § 125). В них емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирает-ся так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводя-щих проводах.
^
Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:
Где U (t )= U m cos t , I (t )= I m cos( t – ) (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв cos( t – ), получим
Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что cos 2 t = 1 / 2 , sin t cos t = 0, получим
Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что U m сos = RI m . Поэтому
Такую же мощность развивает постоянный ток 
.
Величины
Называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения . Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.
Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно запасать в виде
(152.2)
Где множитель соs называется коэффициентом мощности.
Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos =1 и P = IU . Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R =0), то cos =0 и средняя мощ-ность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cos имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить соs , наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.
Лекция 13-14.
1 . Принцип получения переменной ЭДС
Переменный ток имеет ряд преимуществ по сравнению с постоянным: генератор переменного тока значительно проще и дешевле генератора постоянного тока; переменный ток можно трансформировать; переменный ток легко преобразуется в постоянный; двигатели переменного тока значительно проще и дешевле, чем двигатели постоянного тока.
В принципе переменным током можно назвать всякий ток, который с течением времени изменяет свою величину, но в технике переменным током называют такой ток, периодически изменяет и величины и направление. Причем среднее значение силы такого тока за период Т равно нулю. Периодическим переменный ток называется потому, что через промежутки времени Т, характеризующие его физические величины принимают одинаковые значения.
В электротехнике наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, т.е. ток, величина которого изменяется по закону синуса (или косинуса), обладающий рядом достоинств по сравнению с другими периодическими токами.
Переменный ток промышленной частоты получают на электростанциях с помощью генераторов переменного тока (трехфазных синхронных генераторов). Это довольно сложные электрические машины, рассмотрим только физические основы их действия, т.е. идею получения переменного тока.
Пусть в однородном магнитном поле постоянного магнита равномерно вращается с угловой скоростью? рамка площадью S .(рис. 1).
Магнитный поток через рамку будет равен:
Ф=BS cos? (1.1)
где? - угол между нормалью к рамке n и вектором магнитной индукции B. Поскольку при равномерном вращении рамки?= ?/t, то угол? будет изменяться по закону?= ? t и формула(1.1) примет вид:
Ф=BScos?t (1.2)
Поскольку при вращении рамки пересекающий ее магнитный поток все время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться ЭДС индукции Е:
Е = -d Ф /dt =BS?sin?t =E0sin?t (1.3)
где Е0 = BS? - амплитуда синусоидальной ЭДС. Таким образом, в рамке возникнет синусоидальная ЭДС, а если замкнуть рамку на нагрузку, то в цепи потечет синусоидальный ток.
Величину?t = 2?t/Т = 2?ft, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. Фаза измеряется в градусах или радианах.
Время Т одного полного изменения ЭДС (это время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. Изменение ЭДС со временем может быть изображено на временной диаграмме (рис. 2).
Величину, обратную периоду, называют частотой f = 1/T. Если период измеряется в секундах, то частота переменного тока измеряется в Герцах. В большинстве стран, включая Россию, промышленная частота переменного тока составляет 50Гц (в США и Японии - 60 Гц).
Величина промышленной частоты переменного тока обусловлена технико-экономическими соображениями. Если она слишком низка, то увеличиваются габариты электрических машин и, следовательно, расход материалов на их изготовление; заметным становится мигание света в электрических лампочках. При слишком высоких частотах увеличиваются потери энергии в сердечниках электрических машин и трансформаторах. Поэтому наиболее оптимальными оказались частоты 50 - 60 Гц. Однако, в некоторых случаях используются переменные токи как с более высокой, так и более низкой частотой. Например, в самолетах применяется частота 400 Гц. На этой частоте можно значительно уменьшить габариты и вес трансформаторов и электромоторов, что для авиации более существенно, чем увеличение потерь в сердечниках. На железных дорогах используют переменный ток с частотой 25 Гц и даже 16,66 Гц.
Лекция 13-14
Переменный ток
Как известно, сила тока в любой момент времени пропорциональна ЭДС источника тока (закон Ома для полной цепи). Если ЭДС источника не изменяется со временем и остаются неизменными параметры цепи, то через некоторое время после замыкания цепи изменения силы тока прекращаются, в цепи течет постоянный ток.
Однако в современной технике широко применяются не только источники постоянного тока, но и различные генераторы электрического тока, в которых ЭДС периодически изменяется. При подключении в электрическую цепь генератора переменной ЭДС в цепи возникают вынужденные электромагнитные колебания или переменный ток.
Переменный ток – это периодические изменения силы тока и напряжения в электрической цепи, происходящие под действием переменной ЭДС от внешнего источника
или
Переменный ток – это электрический ток, который изменяется с течением времени по гармоническому закону.
Мы в дальнейшем будем изучать вынужденные электрические колебания, происходящие в цепях под действием напряжения, гармонически меняющегося с частотой ω по синусоидальному или косинусоидальному закону:
u = Um ⋅ sin ωt
или u = Um ⋅ cos ωt
где u – мгновенное значение напряжения, U m – амплитуда напряжения, ω – циклическая частота колебаний. Если напряжение меняется с частотой ω , то и сила тока в цепи будет меняться с той же частотой, но колебания силы тока не обязательно должны совпадать по фазе с колебаниями напряжения. Поэтому в общем случае
i = Im ⋅ sin( ωt + φc )
где φ c – разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряжения.
Переменный ток обеспечивает работу электрических двигателей в станках на заводах и фабриках, приводит в действие осветительные приборы в наших квартирах и на улице, холодильники и пылесосы, отопительные приборы и т.п. Частота колебаний напряжения в сети равна 50 Гц. Такую же частоту колебаний имеет и сила переменного тока. Это означает, что на протяжении 1 с ток 50 раз поменяет свое направление. Частота 50 Гц принята для промышленного тока во многих странах мира. В США частота промышленного тока 60 Гц.
Резистор в цепи переменного тока
Пусть цепь состоит из проводников с малой индуктивностью и большим сопротивлением R (из резисторов). Например, такой цепью может быть нить накаливания электрической лампы и подводящие провода. Величину R , которую мы до сих пор называли электрическим сопротивлением или просто сопротивлением, теперь будем называть активным сопротивлением . В цепи переменного тока могут быть и другие сопротивления, зависящие от индуктивности цепи и ее емкости. Сопротивление R называется активным потому, что, только на нем выделяется энергия, т.е.
Сопротивление элемента электрической цепи (резистора), в котором происходит превращение электрической энергии во внутреннюю энергию, называют активным сопротивлением .
Итак, в цепи имеется резистор, активное сопротивление которого R , а катушка индуктивности и конденсатор отсутствуют (рис. 1).
Рис. 1
u = Um ⋅ sin ωt
Как и в случае постоянного тока, мгновенное значение силы тока прямо пропорционально мгновенному значению напряжения. Поэтому можно считать, что мгновенное значение силы тока определяется законом Ома:
i = UR = Um ⋅ sin ω tR = Im ⋅ sin ω t
Следовательно, в проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока по фазе совпадают с колебаниями напряжения (рис. 2), а амплитуда силы тока равна амплитуде напряжения, деленной на сопротивление:
Рис. 2
При небольших значениях частоты переменного тока активное сопротивление проводника не зависит от частоты и практически совпадает с его электрическим сопротивлением в цепи постоянного тока.
Катушка в цепи переменного тока
Индуктивность влияет на силу переменного тока в цепи. Это можно обнаружить с помощью простого опыта. Составим цепь из катушки большой индуктивности и лампы накаливания (рис. 3). С помощью переключателя можно присоединять эту цепь либо к источнику постоянного напряжения, либо к источнику переменного напряжения. При этом постоянное напряжение и действующее значение переменного напряжения должны быть одинаковы. Опыт показывает, что лампа светится ярче при постоянном напряжении. Следовательно, действующее значение силы тока в рассматриваемой цепи меньше силы постоянного тока.
Рис. 3
Объясняется это самоиндукцией. При подключении катушки к источнику постоянного напряжения сила тока в цепи нарастает постепенно. Возникающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь по прошествии некоторого времени сила тока достигает наибольшего (установившегося) значения, соответствующего данному постоянному напряжению. Если напряжение быстро меняется, то сила тока не будет успевать достигать тех установившихся значений, которые она приобрела бы с течением времени при постоянном напряжении, равном максимальному значению переменного напряжения. Следовательно, максимальное значение силы переменного тока (его амплитуда) ограничивается индуктивностью L цепи и будет тем меньше, чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения.
Докажем это математически. Пусть в цепь переменного тока включена идеальная катушка с электрическим сопротивлением провода, равным нулю (рис. 4). При изменениях силы тока по гармоническому закону
i = Im ⋅ cos ωt
в катушке возникает ЭДС самоиндукции
e =− L ⋅ i ′= Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt
где L – индуктивность катушки, ω – циклическая частота переменного тока.
Рис. 4
Так как электрическое сопротивление катушки равно нулю, то ЭДС самоиндукции в ней в любой момент времени равна по модулю и противоположна по знаку напряжению на концах катушки, созданному внешним генератором:
u =− e =− Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ sin ωt
Следовательно, при изменении силы тока в катушке по гармоническому закону напряжение на ее концах изменяется тоже по гармоническому закону, но со сдвигом фазы:
u = Im ⋅ L ⋅ ω ⋅ cos( ωt + π 2)
Следовательно, колебания напряжения на катушке индуктивности опережают колебания силы тока на π/2, или, что то же самое, колебания силы тока отстают по фазе от колебаний напряжения на π/2.
В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (рис. 5). В момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю.
Рис. 5
Произведение Im ⋅ L ⋅ ω
является амплитудой колебаний напряжения на катушке:
Um = Im ⋅ L ⋅ ω
Отношение амплитуды колебаний напряжения на катушке к амплитуде колебаний силы тока в ней называется индуктивным сопротивлением (обозначается X L ):
XL = UmIm = L ⋅ ω
Связь амплитуды колебаний напряжения на концах катушки с амплитудой колебаний силы тока в ней совпадает по форме с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока:
Im = UmXL
В отличие от электрического сопротивления проводника в цепи посто-янного тока, индуктивное сопротивление не является постоянной величиной, характеризующей данную катушку. Оно прямо пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в катушке при постоянном значении амплитуды колебаний напряжения должна убывать обратно пропорционально частоте. Постоянный ток вообще «не замечает» индуктивности катушки. При ω = 0 индуктивное сопротивление равно нулю (X L = 0).
Зависимость амплитуды колебаний силы тока в катушке от частоты приложенного напряжения можно наблюдать в опыте с генератором пере-менного напряжения, частоту которого можно изменять. Опыт показывает, что увеличение в два раза частоты переменного напряжения приводит к уменьшению в два раза амплитуды колебаний силы тока через катушку.
Конденсатор в цепи переменного тока
Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи переменного тока с конденсатором. Если подключить конденсатор к источнику постоянного тока, то в цепи возникнет кратковременный импульс тока, который зарядит конденсатор до напряжения источника, а затем ток прекратится. Если заряженный конденсатор отключить от источника постоянного тока и соединить его обкладки с выводами лампы накаливания, то конденсатор будет разряжаться, при этом наблюдается кратковременная вспышка лампы.
При включении конденсатора в цепь переменного тока процесс его зарядки длится четверть периода. После достижения амплитудного значения напряжение между обкладками конденсатора уменьшается и конденсатор в течение четверти периода разряжается. В следующую четверть периода конденсатор вновь заряжается, но полярность напряжения на его обкладках изменяется на противоположную и т.д. Процессы зарядки и разрядки конденсатора чередуются с периодом, равным периоду колебаний приложенного переменного напряжения.
Как и в цепи постоянного тока, через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды не проходят. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора по проводам, соединенным с его выводами, течет переменный ток. Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока (рис. 6), кажется горящей непрерывно, так как человеческий глаз при высокой частоте колебаний силы тока не замечает периодического ослабления свечения нити лампы.
Рис. 6
Установим связь между амплитудой колебаний напряжения на обкладках конденсатора и амплитудой колебаний силы тока. При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону
u = Um ⋅ cos ωt
заряд на его обкладках изменяется по закону:
q = C ⋅ u = Um ⋅ C ⋅ cos ωt
Электрический ток в цепи возникает в результате изменения заряда конденсатора: i = q ’. Поэтому колебания силы тока в цепи происходят по закону:
i =− Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ sin ωt = Um ⋅ ω ⋅ C ⋅ cos( ωt + π 2)
Следовательно, колебания напряжения на обкладках конденсатора в цепи переменного тока отстают по фазе от колебаний силы тока на π/2 или колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π/2 (рис. 7). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того как напряжение достигает максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.
Рис. 7
Произведение Um ⋅ ω ⋅ C
является амплитудой колебаний силы тока:
Im = Um ⋅ ω ⋅ C
Отношение амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе к амплитуде колебаний силы тока называют емкостным сопротивлением конденсатора (обозначается Х C ):
XC = UmIm =1 ω ⋅ C
Связь между амплитудным значением силы тока и амплитудным значением напряжения по форме совпадает с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока, в котором вместо электрического сопротивления фигурирует емкостное сопротивление конденсатора:
Im = UmXC
Емкостное сопротивление конденсатора, как и индуктивное сопротивление катушки, не является постоянной величиной. Оно обратно пропорционально частоте переменного тока. Поэтому амплитуда колебаний силы тока в цепи конденсатора при постоянной амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе возрастает прямо пропорционально частоте.
Закон Ома для электрической цепи переменного ток
Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой ω и амплитудой U m , то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой амплитудой I m . Установим связь между амплитудами колебаний силы тока и напряжения.
Рис. 8
В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения:
u = uR + uL + uC
. (1)
Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:
i = Im ⋅ cos ωt
. (2)
Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на π /2. Поэтому уравнение (1) можно записать так:
u = URm ⋅ cos ωt + ULm ⋅ cos( ωt + π 2)+ UCm ⋅ cos( ωt − π 2)
, (3)
где U Rm , U Cm и U Lm – амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке.
Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.
При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения U Rm , совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока I m . Колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на π /2 от колебаний силы тока, поэтому вектор U ⃗ Cm
отстает от вектора I ⃗ m на угол 90°. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на π /2, поэтому вектор U ⃗ Lm опережает вектор I ⃗ m
на угол 90° (рис. 9).
Рис. 9
На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов U ⃗ Rm
, U ⃗ Cm и U ⃗ Lm , вращающихся с одинаковой угловой скоростью ω против часовой стрелки. Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных напряжений u R , u C и u L на отдельных элементах цепи, т. е. сумме проекций векторов U ⃗ Rm , U ⃗ Cm и U ⃗ Lm
на горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:
U ⃗ m = U ⃗ Rm + U ⃗ Cm + U ⃗ Lm
Из рисунка 9 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи равна
Um = U 2 Rm +(ULm − UCm )2−−−−−−−−−−−−−−−−− √
, (4)
или
Um =(ImR )2+(ImXL − ImXC )2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(XL − XC )2−−−−−−−−−−−−−− √ = Im ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √
.
Отсюда
Im = UmR 2+(Lω −1 Cω )2 √
. (5)
Введя обозначение для полного сопротивления цепи переменного тока
Z = R 2+(Lω −1 Cω )2−−−−−−−−−−−−−− √
, (6)
выразим связь между амплитудными значениями силы тока и напряжения в цепи переменного тока следующим образом:
Im = UmZ
. (7)
Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока .
Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 9, видно, что фаза колебаний полного напряжения равна ω∙t + φ . Поэтому мгновенное значение полного напряжения определяется формулой:
u = Um ⋅ cos(ωt + φ )
. (8)
Начальную фазу φ можно найти из векторной диаграммы:
cos φ = URmUm = Im ⋅ RIm ⋅ R 2+(Lω −1 Cω )2 √ = RZ
. (9)
Величина cos φ играет важную роль при вычислении мощности в электрической цепи переменного тока.
Мощность в цепи переменного тока
Мощность в цепи постоянного тока определяется произведением напряжения на силу тока:
P = U ⋅ I
.
Физический смысл этой формулы прост: так как напряжение U численно равно работе электрического поля по перемещению единичного заряда, то произведение U∙I характеризует работу по перемещению заряда за единицу времени, протекающего через поперечное сечение проводника, т.е. является мощностью. Мощность электрического тока на данном участке цепи положительна, если энергия поступает к этому участку из остальной сети, и отрицательна, если энергия с этого участка возвращается в сеть. На протяжении очень малого интервала времени переменный ток можно считать неизменным. Поэтому мгновенная мощность в цепи переменного тока определяется такой же формулой:
p = u ⋅ i
.
Пусть напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону
u = Um ⋅ cos ωt
(с тем же успехом, разумеется, вместо u = Um ⋅ cos ωt
можно было бы записать u = Um ⋅ sin ωt
), то и сила тока будет меняться со временем гармонически с той же частотой, но в общем случае будет сдвинута по фазе относительно напряжения:
i = Im ⋅ cos( ω t + φ c )
,
где φ c – сдвиг фаз между силой тока и напряжением. Поэтому для мгновенной мощности можно записать:
p = u ⋅ i = Um ⋅ Im ⋅ cos ωt ⋅ cos(ωt + φc )
.
При этом мощность меняется со временем как по модулю, так и по знаку. В течение одной части периода энергия поступает к данному участку цепи (р > 0), но в течение другой части периода некоторая доля энергии вновь возвращается в сеть (р < 0). Как правило, во всех случаях нам надо знать среднюю мощность на участке цепи за достаточно большой промежуток времени, включающий много периодов. Для этого достаточно определить среднюю мощность за один период.
Чтобы найти среднюю мощность за период, преобразуем полученную формулу таким образом, чтобы выделить в ней член, не зависящий от времени. С этой целью воспользуемся известной формулой для произведения двух косинусов:
cos α ⋅ cos β =cos(α − β )+cos(α + β )2
.
В рассматриваемом случае α = ω∙t и β = ω∙t + φ c . Поэтому
p = Um ⋅ Im 2= Um ⋅ Im 2cos φc + Um ⋅ Im 2cos(2 ωt + φc )
.
Выражение для мгновенное мощности состоит из двух слагаемых. Первое не зависит от времени, а второе дважды за каждый период изменения напряжения изменяет знак: в течение какой-то части периода энергия поступает в цепь от источника переменного напряжения, а в течении другой части возвращается обратно. Поэтому среднее значение второго слагаемого за период равно нулю. Следовательно, средняя мощность Р за период равна первому члену, не зависящему от времени:
P = Um ⋅ Im 2cos φc
. (10)
При совпадении фазы колебаний силы тока и напряжения (для активного сопротивления R ) среднее значение мощности равно:
P = Um ⋅ Im 2= I 2 m ⋅ R 2
.
Для того чтобы формула для расчета мощности переменного тока совпадала по форме с аналогичной формулой для постоянного тока (Р = I∙U = I 2 ∙ R ), вводятся понятия действующих значений силы тока и напряжения. Из равенства мощностей получим
P = I 2 m ⋅ R 2= I 2 ⋅ R
или I 2 m 2= I 2
.
Действующим значением силы тока называют величину, в 2–√
раз меньшую ее амплитудного значения:
I = Im 2√
.
Действующее значение силы тока равно силе такого постоянного тока, при котором средняя мощность, выделяющаяся в проводнике в цепи переменного тока, равна мощности, выделяющейся в том же проводнике в цепи постоянного тока.
Аналогично можно доказать, что
действующее значение переменного напряжения в 2–√
раз меньше его амплитудного значения:
U = Um 2√
.
Заметим, что обычно электрическая аппаратура в цепях переменного тока показывает действующие значения измеряемых величин. Переходя к действующим значениям силы тока и напряжения, уравнение (10) можно переписать:
P = Um 2√ ⋅ Im 2√cos φc = U ⋅ I cos φc
. (10)
Таким образом, мощность переменного тока на участке цепи определяется именно действующими значениями силы тока и напряжения. Она зависит также от сдвига фаз φ c между напряжением и током. Множитель cos φ c в формуле называется коэффициентом мощности .
В случае, когда φ c = ± π /2 , энергия, поступающая к участку цепи за период, равна нулю, хотя в цепи и существует ток. Так будет, в частности, если цепь содержит только катушку индуктивности или только конденсатор. Как же средняя мощность может оказаться равной нулю при наличии тока в цепи? Это поясняют приведенные на рисунке 10 графики изменения со временем мгновенных значений напряжения, силы тока и мощности при φ c = - π /2 (чисто индуктивное сопротивление участка цепи). График зависимости мгновенной мощности от времени можно получить, перемножая значения силы тока и напряжения в каждый момент времени. Из этого графика видно, что в течение одной четверти периода мощность положительна и энергия поступает к данному участку цепи; но в течение следующей четверти периода мощность отрицательна, и данный участок отдает без потерь обратно в сеть полученную ранее энергию. Поступающая в течение четверти периода энергия запасается в магнитном поле тока, а затем без потерь возвращается в сеть.
Рис. 10
Лишь при наличии проводника с активным сопротивлением в цепи, не содержащей движущихся проводников, электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию проводника, который нагревается. Обратного превращения внутренней энергии в электромагнитную на участке с активным сопротивлением уже не происходит.
При проектировании цепей переменного тока нужно добиваться, чтобы cos φ c не был мал. Иначе значительная часть энергии будет циркулировать по проводам от генератора к потребителям и обратно. Так как провода обладают активным сопротивлением, то при этом энергия расходуется на нагревание проводов.
Неблагоприятные условия для потребления энергии возникают при включении в сеть электродвигателей, так как их обмотка имеет малое активное сопротивление и большую индуктивность. Для увеличения cos φ c в сетях питания предприятий с большим числом электродвигателей включают специальные компенсирующие конденсаторы. Нужно также следить, чтобы электродвигатели не работали вхолостую или с недогрузкой. Это уменьшает коэффициент мощности всей цепи. Повышение cos φ c является важной народнохозяйственной задачей, так как позволяет с максимальной отдачей использовать генераторы электростанций и снизить потери энергии. Это достигается правильным проектированием электрических цепей. Запрещается использовать устройства с cos φ c < 0,85.
Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистру с сопротивлением R , конденсатору емкости C и катушки индуктивности L . Во всех трех случаях напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке равны напряжению источника переменного тока.
1. Резистор в цепи переменного тока
Сопротивление R называют активным, потому что цепь с таким сопротивлением поглощает энергию.
Активное сопротивление - устройство, в котором энергия электрического тока необратимо преобразуется в другие виды энергии (внутреннюю, механическую)
Пусть напряжение в цепи меняется по закону: u = Umcos ωt ,
тогда сила тока меняется по закону: i = u/R = I R cosωt
u – мгновенное значение напряжения;
i – мгновенное значение силы тока;
I R - амплитуда тока, протекающего через резистор.
Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением RI R = U R
Колебания силы тока совпадают по фазе с колебаниями напряжения. (т.е. фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю).
2. Конденсатор в цепи переменного тока
При включении конденсатора в цепь постоянного напряжения сила тока равна нулю, а при включении конденсатора в цепь переменного напряжения сила тока не равна нулю. Следовательно, конденсатор в цепи переменного напряжения создает сопротивление меньше, чем в цепи постоянного тока.
I C и напряжения
Ток опережает по фазе напряжение на угол π/2.
3. Катушка в цепи переменного тока
В катушке, включенной в цепь переменного напряжения, сила тока меньше силы тока в цепи постоянного напряжения для той же катушки. Следовательно, катушка в цепи переменного напряжения создает большее сопротивление, чем в цепи постоянного напряжения.
Соотношение между амплитудами тока I L и напряжения U L :
ωLI L = U L
Ток отстает по фазе от напряжения на угол π/2.
Теперь можно построить векторную диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Поскольку ток, протекающий через последовательно соединенные участки цепи, один и тот же, векторную диаграмму удобно строить относительно вектора, изображающего колебания тока в цепи. Амплитуду тока обозначим через I 0 . Фаза тока принимается равной нулю. Это вполне допустимо, так как физический интерес представляют не абсолютные значения фаз, а относительные фазовые сдвиги.
Векторная диаграмма на рисунке построена для случая, когда или В этом случае напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ.
Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи
Из рисунка видно, что
откуда следует
Из выражения для I 0 видно, что амплитуда тока принимает максимальное значение при условии
Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω внешнего источника с собственной частотой ω 0 электрической цепи называется электрическим резонансом . При резонансе
Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений . Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R , L и C (так называемый резонанс токов ).
При последовательном резонансе (ω = ω 0) амплитуды U C и U L напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают:
Рисунок иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U C напряжения на конденсаторе к амплитуде 0 напряжения источника от его частоты ω. Кривые на рисунке называются резонансными кривыми .
